1) 주어진 조건 \(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3\) 의 양변을 제곱합니다. \[\left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x - 2 + x^{-1} = 9 \implies x + x^{-1} = 11\] 2) 다시 \(x + x^{-1} = 11\) 의 양변을 제곱하여 \(x^2 + x^{-2}\) 의 값을 구합니다. \[(x + x^{-1})^2 = x^2 + 2 + x^{-2} = 121 \implies x^2 + x^{-2} = 119\] 3) 따라서 구하는 식의 값은 \[\dfrac{x^2 + x^{-2}}{x + x^{-1}} = \dfrac{119}{11}\] 입니다.

1) \(a^2 = b^3 = c^4 = k\; (k > 0,\; k \neq 1)\) 로 놓으면 \[a = k^{\frac{1}{2}}, \qquad b = k^{\frac{1}{3}}, \qquad c = k^{\frac{1}{4}}\] 입니다.
2) 로그의 밑의 변환과 지수 성질 \(\log_{x^m} x^n = \dfrac{n}{m}\) 을 이용하여 각 항을 계산합니다. \[\log_a b = \log_{k^{\frac{1}{2}}} k^{\frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}\] \[\log_b c = \log_{k^{\frac{1}{3}}} k^{\frac{1}{4}} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{4}\] \[\log_c a = \log_{k^{\frac{1}{4}}} k^{\frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2\] 3) 따라서 구하는 합은 \[\log_a b + \log_b c + \log_c a = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{8 + 9 + 24}{12} = \dfrac{41}{12}\] 입니다.

1) 부채꼴의 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 이므로 호의 길이 \(l\)은 \[l = r\theta = \dfrac{2\pi}{3}r\] 입니다.
2) 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\) 에 대입하면 \[S = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}r^2 = 12\pi\] 입니다.
3) 따라서 \(r^2 = 36\) 이고 \(r > 0\) 이므로 반지름의 길이는 \(r = 6\) 입니다.
4) 이때 호의 길이는 \(l = \dfrac{2\pi}{3} \times 6 = 4\pi\) 이므로 부채꼴의 둘레의 길이는 \(2r + l = 12 + 4\pi\) 입니다.

1) 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 2\sqrt{7}\) 이므로 사인법칙에 의하여 변 \(\text{BC}\)의 길이는 \[\overline{\text{BC}} = 2R\sin A = 2 \times 2\sqrt{7} \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 4\sqrt{7} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{21}\] 입니다.
2) \(\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AC}} = 3 : 1\) 이므로 \(\overline{\text{AB}} = 3k,\; \overline{\text{AC}} = k\; (k > 0)\) 라 놓고 코사인법칙을 적용합니다. \[\overline{\text{BC}}^2 = (3k)^2 + k^2 - 2(3k)(k)\cos\dfrac{\pi}{3}\] \[84 = 9k^2 + k^2 - 6k^2 \times \dfrac{1}{2} = 7k^2 \implies k^2 = 12\] 3) 따라서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이 \(S\)는 \[S = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 3k^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \times 12 = 9\sqrt{3}\] 입니다.

1) 첫째항이 \(1\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 일반항은 \[a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1\] 이며, 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_{k+1} - a_k = 2\) 입니다.
2) 일반항의 분모를 유리화하면 \[\dfrac{2}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \dfrac{2\left(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\right)}{a_{k+1} - a_k} = \dfrac{2\left(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\right)}{2} = \sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\] 입니다.
3) 따라서 구하는 합은 연쇄 소거에 의하여 \[\sum_{k=1}^{24} \left(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\right) = \left(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}\right) + \left(\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}\right) + \cdots + \left(\sqrt{a_{25}} - \sqrt{a_{24}}\right) = \sqrt{a_{25}} - \sqrt{a_1}\] 입니다.
4) \(a_1 = 1,\; a_{25} = 2(25) - 1 = 49\) 이므로 \(\sqrt{49} - \sqrt{1} = 7 - 1 = 6\) 입니다.

1) \(x \to \infty\) 일 때 \(\sqrt{4x^2 + ax + 3}\) 의 최고차항은 \(2x\)와 같으므로, 극한값이 \(3\)으로 수렴하려면 \(b = 2\) 이어야 합니다. (만약 \(b \neq 2\) 이면 \(\pm\infty\) 로 발산합니다.)
2) \(b = 2\) 를 대입하고 분자를 유리화합니다. \[\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 3} - 2x\right) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(4x^2 + ax + 3) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + ax + 3} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + 3}{\sqrt{4x^2 + ax + 3} + 2x}\] 3) 분모와 분자를 \(x\; (x > 0)\)로 나누어 극한값을 계산하면 \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{a + \frac{3}{x}}{\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{3}{x^2}} + 2} = \dfrac{a}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{a}{4} = 3 \implies a = 12\] 입니다.
4) 따라서 \(a + b = 12 + 2 = 14\) 입니다.

1) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\) 에서 연속이므로 좌극한과 우극한(함숫값)이 같아야 합니다. \[\lim_{x \to 1^-} (ax + 2) = 1^2 - 2(1) + b \implies a + 2 = b - 1 \implies b - a = 3 \quad \cdots \text{㉠}\] 2) 또한 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 3) = f(x)\) 이므로 \(x = 0\) 을 대입하면 \(f(3) = f(0)\) 이 성립해야 합니다. \[f(0) = 2, \qquad f(3) = 3^2 - 2(3) + b = 3 + b \implies 3 + b = 2 \implies b = -1\] 3) \(b = -1\) 을 ㉠에 대입하면 \(a = -4\) 입니다.
4) 주기가 \(3\)이므로 \(f(10) = f(3 \times 3 + 1) = f(1) = 1 - 2 + (-1) = -2\) 입니다.

1) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\) 에서 미분가능하면 \(x = 1\) 에서 연속이므로 좌극한과 우극한(함숫값)이 같아야 합니다. \[\lim_{x \to 1^-} (x^3 + ax + b) = 4(1)^2 - 2(1) + 3 \implies 1 + a + b = 5 \implies a + b = 4 \quad \cdots \text{㉠}\] 2) 또한 \(x = 1\) 에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 구간별로 미분하면 \(x < 1\) 에서 \(f'(x) = 3x^2 + a\), \(x > 1\) 에서 \(f'(x) = 8x - 2\) 이므로 \[3(1)^2 + a = 8(1) - 2 \implies 3 + a = 6 \implies a = 3\] 입니다.
3) \(a = 3\) 을 ㉠에 대입하면 \(b = 1\) 입니다.
4) 따라서 \(a^2 + b^2 = 3^2 + 1^2 = 10\) 입니다.

1) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 \(x\)에 대하여 도함수 \(f'(x) \ge 0\) 이어야 합니다.
2) 도함수를 구하면 \[f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a + 6) \ge 0\] 입니다.
3) 모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(3x^2 + 2ax + (a + 6) \ge 0\) 이 성립하려면 판별식 \(D \le 0\) 이어야 합니다. \[\dfrac{D}{4} = a^2 - 3(a + 6) = a^2 - 3a - 18 = (a - 6)(a + 3) \le 0\] 4) 따라서 \(-3 \le a \le 6\) 이므로 실수 \(a\)의 최댓값은 \(6\), 최솟값은 \(-3\) 이며, 그 차는 \(6 - (-3) = 9\) 입니다.

1) 정적분 \(\int_{0}^{1} f(t)\,dt\) 는 상수이므로 이를 \(k\)라 놓으면 \[k = \int_{0}^{1} f(t)\,dt \implies f(x) = 3x^2 - 2kx\] 입니다.
2) \(f(t) = 3t^2 - 2kt\) 를 다시 \(k\)의 정의식에 대입하여 적분합니다. \[k = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2kt)\,dt = \left[t^3 - kt^2\right]_{0}^{1} = 1 - k\] 3) \(k = 1 - k\) 에서 \(2k = 1 \implies k = \dfrac{1}{2}\) 입니다.
4) 따라서 \(f(x) = 3x^2 - x\) 이므로 구하는 값은 \(f(3) = 3(9) - 3 = 24\) 입니다.